Comparaison des approximations itératives de l’équation de Colebrook-White.

Voici une revue d’autres formules et une formulation mathématiquement exacte qui est valable sur toute la gamme des valeurs de Re.

C. T. GOUDAR,* Bayer HealthCare, Berkeley, Californie, et J. R. SONNAD,

Centre des sciences de la santé de l’Université de l’Oklahoma, Oklahoma City, Oklahoma

L’estimation du facteur de frottement est un élément clé de la conception d’un système de tuyauterie et l’équation de Colebrook-White est généralement la méthode de choix pour calculer le facteur de frottement d’un écoulement turbulent dans des conduites rugueuses :

Il relie implicitement le facteur de frottement f à la rugosité du tuyau, e/D, et au nombre de Reynolds : Re.
En raison de la nature implicite de l’Eq. I, les méthodes graphiques ont été proposées à l’origine pour l’estimation de f et sont encore utilisées aujourd’hui. Bien que la représentation visuelle dans une corrélation graphique soit certainement attrayante, la détermination précise de f est difficile et cette approche n’est pas adaptée à la plupart des projets de conception de systèmes de tuyauterie informatisés.

Pour la mise en œuvre informatique, des méthodes numériques itératives telles que la méthode Newton-Raphson peuvent être utilisées pour déterminer f à partir de l’équation 1.

Idéalement, ces calculs itératifs ne sont pas souhaitables, et dans une tentative de simplifier l’estimation de f à partir de l’Eq. I, plusieurs approximations explicites de f  ont été proposées. La précision des valeurs déterminées à partir de ces corrélations varie considérablement et toutes les corrélations ne sont pas valides sur une large plage Re (généralement 4 000 < Re < 108) pour être universellement applicables. La précision des corrélations empiriques non itératives a été évaluée de manière exhaustive et s’est avérée être comprise entre 1,42 et 28,23 % par rapport à une erreur de 1 % pour une forme simplifiée d’une représentation vraiment explicite de l’équation. 1.

En plus des corrélations non itératives mentionnées, plusieurs approximations itératives ont également été proposées pour l’Eq. 1

Il s’agit de relations fonctionnelles plus complexes entre f, e/D et Re, mais elles donnent des valeurs de f avec une plus grande précision. Pour éliminer complètement le besoin de corrélations empiriques, nous avons proposé une formulation explicite et mathématiquement exacte de l’équation 1 qui est valide sur toute la plage de valeurs Re et donne des valeurs f très précises. La précision d’une forme simplifiée de cette formulation a été présentée précédemment et dans cette étude, nous présentons une comparaison de deux autres formes de cette formulation avec les diverses approximations itératives de l’équation 1.

Pour éliminer complètement le besoin de corrélations empiriques, nous avons proposé une formulation explicite et mathématiquement exacte de l’équation. 1 qui est valable sur toute la plage des valeurs Re et donne des valeurs f très précises

Des détails sur la dérivation de la reformulation explicite ont été présentés ailleurs et seules les équations finales sont présentées ici. Le facteur de frottement f peut être explicitement lié à e/D et Re comme :

où:

Deux formulations différentes sont disponibles pour 8, la formulation linéaire, 8LA, et la formulation de fractions continues, 8cFA, et elles varient en complexité et en précision :

Ainsi, deux versions de l’équation 2 sont possibles selon le choix de 8 :

Une comparaison des propriétés de diverses approximations empiriques itératives de l’Eq. 1 est présenté avec l’erreur dans les estimations de f à partir des équations. 4 et 5.

Comparaison avec des approximations empiriques. La précision des Eqs. 4 et 5 et les approximations itératives empiriques de l’Eq. 1 ont été déterminés sur un espace rectangulaire de valeurs e/D et Re. Un ensemble de 20 valeurs e/D correspondant à celles utilisées par Moody a été sélectionné, couvrant une plage de 10-6 à 5 x 10-2. Pour chaque valeur e/D 500 valeurs de Re, réparties uniformément dans l’espace logarithmique sur 4 000 <Re< 108, ont été choisies. La précision des valeurs f à ces 10 000 points (grille de 20 x 500 de valeurs e/D et Re) a été déterminée en les comparant à celles obtenues à partir du formulaire mathématiquement équivalent très précis.

Un total de 10 000 valeurs f et leur erreur associée ont été déterminées sur la grille 20 x 500 des valeurs e/D et Re, et les valeurs d’erreur maximales sont indiquées dans le tableau 1. Bien que toutes les corrélations du tableau 1 ne soient pas valides sur l’ensemble de la plage Re (4 000 <Re< 108) , la comparaison a été faite intentionnellement sur cette plage étendue pour refléter les conditions de fonctionnement. L’erreur f maximale variait de 1,01 à 3,10 x 10-3 %, la corrélation de Serghides étant la plus précise. Les corrélations 8 et 9, qui sont dérivées d’une représentation mathématiquement équivalente explicite de l’équation 1, ont été caractérisées par des erreurs f maximales de 3,64 x 10-4 et 1,04 x 10-10 %, toutes deux meilleures que la meilleure approximation itérative disponible.

La précision des corrélations du tableau 1 est illustrée aux Fig. 1 et 2 où le pourcentage maximum d’erreur f est indiqué à différentes valeurs e/D. Pour chaque valeur e/D, 500 valeurs f ont été déterminées à 500 valeurs Re espacées de manière logarithmique dans la plage de 4 000 <Re< 108 et les valeurs maximales sont indiquées sur les Fig. 1 et 2. L’équation de Serghides (corrélation 7) avec une erreur maximale de 3,1 x 10-3 % est la meilleure approximation empirique disponible. La figure 3 montre une comparaison des profils d’erreur f pour l’équation de Serghides avec ceux des équations. 4 et 5. Erreur maximale d’Eqs. 4 et 5 étaient de 3,64 x 10-4 et 1,04 x 10-10 %, respectivement, et cette précision améliorée est reflétée dans la Fig. 3.

L’objet de cet article est de fournir à l’ingénieur un moyen simple d’estimer les facteurs de frottement à utiliser pour calculer la perte de charge dans des conduites neuves propres et dans des conduites fermées pleines à débit constant. Les développements modernes dans l’application de l’hydrodynamique théorique au problème du frottement des fluides sont impressionnants et dispersés dans une abondante littérature. Cet article ne se veut pas une étude critique de ce vaste domaine. Pour une revue concise, le petit livre du professeur Bakhine teff sur la mécanique de l’écoulement des fluides est une excellente référence. Prandtl et Tietjeris, et Rouse ont également apporté des contributions notables au sujet. L’auteur ne prétend pas offrir quoi que ce soit de particulièrement nouveau ou original, son but étant simplement d’incarner les conclusions désormais acceptées sous une forme pratique pour une utilisation technique. Dans la présente étude sur l’écoulement des canalisations, le facteur de frottement, désigné par f dans les graphiques ci-joints, est le coefficient de la formule de Darcy. dans lequel hf : la perte de charge en frottement, en pieds de colonne de fluide du fluide qui s’écoule ; L et D la longueur et le diamètre interne du tuyau en pieds ; V : la vitesse moyenne d’écoulement en pieds par seconde ; g : l’accélération de la gravité en pieds par seconde par seconde. Le facteur f est une quantité sans dimension, et aux vitesses ordinaires est une fonction de deux, et seulement deux, autres quantités sans dimension : la rugosité relative de la surface, e/D (e étant une quantité linéaire en pieds représentative de la rugosité absolue) , et le nombre de Reynolds R = VD / v (v étant le coefficient de viscosité cinématique du fluide en pieds carrés par seconde). La figure 1 donne les valeurs numériques de f en fonction de e/D et R. Il y a dix ans, R. J. S. Pigott (4) a publié un tableau pour le même facteur de frottement, en utilisant les mêmes coordonnées que sur la figure 1 de cet article. Son tableau s’est avéré très utile et pratique et a été reproduit dans un certain nombre de textes (5). Le tableau de Pigott était basé sur une analyse de quelque 10 000 expériences provenant de diverses sources (6), mais n’avait pas l’avantage, pour tracer ou ajuster les courbes, des développements ultérieurs dans les formes fonctionnelles des courbes. La même année, Nilruradse (7) publie ses expériences sur des tuyaux artificiellement rugueux. Sur la base des tests de Nikuradse et d’autres, von Karman (8) et Prandtl (9) ont développé leurs analyses théoriques de l’écoulement des tuyaux et nous ont donné des formules appropriées avec des constantes numériques pour le cas de tuyaux parfaitement lisses ou ceux dans lesquels les irrégularités sont petites par rapport à l’épaisseur de la couche limite laminaire, et pour le cas des conduites rugueuses où les rugosités dépassent suffisamment pour briser la couche laminaire, et l’écoulement devient complètement turbulent. L’analyse n’a cependant pas couvert l’ensemble du champ mais a laissé un vide, à savoir ; la zone de transition entre les tuyaux lisses et rugueux, la région de turbulence incomplète. Les tentatives pour combler cette lacune par l’utilisation des résultats de Nikuradse pour la rugosité artificielle produite par des grains de sable serrés, n’étaient pas adéquates, puisque les résultats étaient clairement différents de l’expérience réelle pour les surfaces ordinaires rencontrées dans la pratique. Les courbes de Nikuradse ont montré une forte baisse suivie d’une courbe inverse particulière non observée avec les surfaces commerciales, et nulle part suggérée par le graphique de Pigott basé sur de nombreux tests. Récemment Colebrook (11), en collaboration avec C. M. White ; a développé une fonction qui donne une forme pratique de courbe de transition pour combler l’écart. Cette fonction s’accorde avec les deux extrêmes de rugosité et donne des valeurs en accord très satisfaisant avec les mesures réelles sur la plupart des formes de tuyauterie commerciale et des surfaces de tuyauterie habituelles. Rouse (12) a montré qu’il s’agissait d’une solution raisonnable et pratiquement adéquate et a tracé un tableau basé sur celle-ci. Afin de simplifier le tracé, Rouse a adopté des coordonnées peu pratiques pour une utilisation ordinaire en ingénierie puisque f est implicite dans les deux coordonnées et que les valeurs R sont représentées par des coordonnées courbes, de sorte que l’interpolation pose certains problèmes

L’auteur a dressé une nouvelle carte, Fig. 1, sous la forme plus conventionnelle utilisée par Pigott, en profitant des relations fonctionnelles établies ces dernières années. Les courbes de f par rapport à R sont tracées à des échelles logarithmiques pour diverses valeurs constantes de rugosité relative e/D et pour permettre une sélection facile de e/D, un tableau d’accompagnement, Fig. 2, est donné à partir duquel i peut être lu pour n’importe quelle taille de tuyau d’un type de surface donné.

Pour trouver la perte par frottement d’un tuyau, la procédure est la suivante :
Trouvez le e/D approprié à partir de la Fig. 2, puis suivez la ligne correspondante, ainsi identifiée, sur la Fig. 1, à la valeur du nombre de Reynolds R correspondant à la vitesse d’écoulement. Le facteur f est ainsi trouvé, à utiliser dans la formule de Darcy

Sur la figure 2, les échelles en haut et en bas donnent les valeurs du diamètre en pieds et en pouces. La figure 1 n’implique que des grandeurs sans dimension et est applicable dans n’importe quel système d’unités.

Pour faciliter le calcul de R, des échelles auxiliaires sont indiquées en haut de la Fig. 1, donnant les valeurs du produit (VD ») pour deux fluides, c’est-à-dire l’eau et l’air atmosphérique, à 60 F. (D » est le diamètre intérieur en pouces.) Comme autre auxiliaire,. La figure 3 est donnée, à partir de laquelle R peut être rapidement trouvé pour l’eau à des températures ordinaires, pour n’importe quelle taille de tuyau et vitesse moyenne V. Des lignes pointillées sur ce graphique ont été ajoutées pour donner les valeurs du débit ou de la quantité de fluide qui s’écoule, Q = AV, exprimé à la fois en pieds cubes par seconde et en gallons américains par minute.